跳到主要内容

方差

方差反映了随机变量的分散程度

方差存在,期望必存在

定义​

设 X\boldsymbol{X} 是一个随机变量, 若 E{[X−E(X)]2}\boldsymbol{E}\left\{[\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})]^{2}\right\} 存在, 则称 E{[X−E(X)]2}\boldsymbol{E}\left\{[\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})]^{2}\right\} 为 X\boldsymbol{X} 的方差, 记为 D(X)\boldsymbol{D}(\boldsymbol{X}) 或 Var⁡(X)\operatorname{Var}(\boldsymbol{X}), 即

D(X)=Var⁡(X)=E{[X−E(X)]2}.\boldsymbol{D}(\boldsymbol{X})=\operatorname{Var}(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{E}\left\{[\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})]^{2}\right\} .

称 D(X)\sqrt{D(X)} 为标准差或均方差, 记为 σ(X)\sigma(X).

与数学期望类似, 随机变量的方差也不一定存在。事实上, 方差 D(X)D(X) 是随机变量 XX 的函数 g(X)=(X−EX)2g(X)=(X-E X)^{2} 的数学期望。于是我们得到下列方差的计算公式。

当 XX 为离散型随机变量, 其分布律为 P(X=xk)=pk,k=1,2,⋯P\left(X=x_{k}\right)=p_{k}, k=1,2, \cdots 时,

D(X)=E(X−EX)2=∑k=1+∞(xk−EX)2pk∘D(X)=E(X-E X)^{2}=\sum_{k=1}^{+\infty}\left(x_{k}-E X\right)^{2} p_{k} \circ

当 XX 为连续型随机变量, 其密度函数为 p(x)p(x) 时,

D(X)=E(X−EX)2=∫−∞+∞(x−EX)2p(x)dx。D(X)=E(X-E X)^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E X)^{2} p(x) \mathrm{d} x 。

此外, 一般地, 我们还可以得到方差下面的计算公式。由期望的线性性质得

D(X)=E(X−EX)2=E[X2−2XEX+(EX)2]=EX2−2EX⋅EX+(EX)2=EX2−(EX)2\begin{aligned} D(X) &=E(X-E X)^{2}=E\left[X^{2}-2 X E X+(E X)^{2}\right] \\ &=E X^{2}-2 E X \cdot E X+(E X)^{2}=E X^{2}-(E X)^{2} \end{aligned}

于是

D(X)=EX2−(EX)2D(X)=E X^{2}-(E X)^{2}

这是计算方差的常用公式。

性质​

  1. 常数的方差为 0, 即任意常数 aa, D(a)=0D(a)=0
  2. 设 a,ba,b 为任意有限常数， 若 XX 的方差存在, 则
D(aX+b)=a2D(X)D(aX+b) = a^2 D(X)
  1. 对于任意的随机变量 XX 和 YY, 若 XX 和 YY 的方差均存在， 则
D(X±Y)=E[X−E(X)]2+E[Y−E(Y)]2±2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E[X−E(X)]2+E[Y−E(Y)]2±2COV(X,Y)\begin{aligned} D(X \pm Y ) =& E[X-E(X)]^{2}+E[Y-E(Y)]^{2} \pm 2 E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} \\ =& E[X-E(X)]^{2}+E[Y-E(Y)]^{2} \pm 2 COV(X,Y) \end{aligned}

特别的， 当 XX 和 YY 相互独立时，

D(X±Y)=D(X)+D(Y)\begin{aligned} D (X \pm Y ) = D(X) + D(Y) \end{aligned}
方差没有线性特征