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期望

数学期望简单地来说， 就是随机变量的平均取值

定义​

数学期望简称期望， 又称为均值。 数学期望 E(X)E(X) 完全由随机变量 XX 的概率分布所确定。 若 XX 服从某一分布， 也称 E(x)E(x) 是这一分布的数学期望。

离散型随机变量​

设 XX 是离散型随机变量, 分布律为:P{X=xk}=pk,k=1,2,…P\left\{X=x_{k}\right\}=p_{k}, k=1,2, \ldots， 若级数 ∑k=1∞xkpk\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} p_{k} 绝对收敛, 则称级数 ∑k=1∞xkpk\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} p_{k} 的和为 X\mathrm{X} 的数学期望, 记为 E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}), 即

E(X)=∑k=1∞xkpk\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})=\sum_{\boldsymbol{k}=1}^{\infty} \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{k}} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{k}}

若级数 ∑k=1∞∣xkpk∣\sum_{k=1}^{\infty}\left|x_{k} p_{k}\right| 发散, 则称 XX 的数学期望不存在。

条件收敛和绝对收敛

∑ai\sum a_{i} 条件收敛:

  1. ∑ai\sum a_{i} 收敛, ⟶ \longrightarrow 1. lim⁡ai=0\lim a_{i}=0,
  2. ∑∣ai∣\sum\left|a_{i}\right| 发散. ⟶2.∑ai+=+∞,∑ai−=−∞ \longrightarrow 2 . \sum a_{i}^{+}=+\infty, \sum a_{i}^{-}=-\infty

条件收敛性质: 条件收敛的级数通过重排 {ai}\left\{a_{i}\right\} 次序, 可使之收敛到任意预先指定的数值。

连续性随机变量​

设连续型随机变量 XX 的概率密度函数为 p(x)p(x), 如 果积分 ∫−∞∞xp(x)dx\int_{-\infty}^{\infty} x p(x) d x 绝对收敛, 则称该积分为 XX 的数学期望 (或均值), 记为 EXE X, 即

E(X)=∫−∞∞xp(x)dxE(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x p(x) d x

如果积分 ∫−∞∞∣x∣p(x)dx\int_{-\infty}^{\infty}|x| p(x) d x 发散, 则称 X\boldsymbol{X} 的数学期望不存在。

性质​

  1. 设 aa 为常数, 则 E(a)=aE(a) = a
  2. 线性性质: 对任意有限常数 a,ba,b, E(aX+bY)=aEX+bEYE(aX+bY)=aEX+bEY
  3. 若 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 相互独立, 则
E(X1X2⋯Xn)=E(X1)E(X2)\cdotsE(Xn)E(X_1X_2 \cdots X_n) = E(X_1)E(X_2)\cdotsE(X_n)
但是由 E(XY)=E(X)E(Y)E(XY) = E(X)E(Y) 不一定能推出 X,YX,Y 相互独立