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群论

群的概念​

半群​

  • 定义： 设 ∘\circ 是非空集合 SS 上的一个二元代数运算, 称为乘法。如果 ∀a,b,c∈S\forall a, b, c \in \mathrm{S}, 有
(a∘b)∘c=a∘(b∘c)(a \circ b) \circ c=a \circ(b \circ c)

则称集合 S\mathrm{S} 对乘法 ∘\circ 形成一个半群 (semigroup), 并记为 (S,∘)(\mathrm{S}, \circ) 。

定义在集合上的二元关系一定是封闭的

于是, 半群就是具有满足结合律的二元代数运算的代数系。在半群中的乘法,只要求它满足结合律,而没有要求它必须满足交换律。但是, 如果半群中的二元代数运算一一乘法, 还满足交换律, 则称此半群为交换半群或是可交换的, 可交换群又称阿贝尔 (abelian) 群 。

同一个集合， 对不同的运算， 应该被视作不同的半群

幺半群​

  • 定理: 如果半群 (S,∘)(\mathrm{S}, \circ) 中既有左单位元素又有右单位元素， 则左单位元与右单位元素相等， 从而有单位元且单位元是唯一的

  • 定义: 有单位元素 (identity element) 的半群 (S,∘)(\mathrm{S}, \circ) 称为独异点 (monoid), 或称为幺半群。

我们通常把幺半群记为 (S,∘,e)(\mathrm{S}, \circ, e)

群​

  • 定理: 如果幺半群 (S,∘,e)(\mathrm{S}, \circ, e) 中既有左逆元又有右逆元， 则左逆元和右逆元相等， 从而有逆元且逆元是唯一的

  • 定义: 每个元素都有逆元的幺半群称为群。

综上可知

类型性质
半群封闭 + 结合
幺半群封闭 + 结合 + 有幺元
群封闭 + 结合 + 有幺元 + 有逆元

子群的概念​

定义​

如果 HH 是 GG 的非空子集， 且 ∀a,b∈H\forall a, b \in H, 都有 a∘b∈Ha \circ b \in H (HH 对 GG 定义的操作封闭)， 则称 HH 为 GG 的子群 (subgroup)

GG 的子群 H=eH = e 被称为平凡子群 (trivial subgroup)。 如 HH 是 GG 的子群且是真子集， 则 HH 是 GG 的真子群 (proper subgroup)。

定理​

  • 判定定理: GG 的子集 HH 是 GG的子群当且仅当如下条件被满足:

    1. GG 的幺元 ee 在 HH 中
    2. 如果 h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H, 那么 h1h2∈Hh_1h_2 \in H
    3. 如果 h∈Hh \in H, 那么 h−1∈Hh^{-1} \in H

  • 定理: 令 HH 是 群GG的子集，那么 HH 是 GG 的子群当且仅当 H≠∅H \neq \emptyset, 并且还需要满足: 如果 g,h∈Hg, h \in H, 那么 gh−1gh^{-1} 也在 HH 中

循环子群​

定义​

令 GG 为一个群而 aa 为 GG的任意一个元素， 那么集合

⟨a⟩=ak:k∈Z\langle a\rangle=a^{k}: k \in \mathbb{Z}

是 GG 的一个子群。 并且 ⟨a⟩\langle a\rangle 是 GG 的包含 aa 的最小子群。

对于 a∈Ga \in G, 我们称 ⟨a⟩\langle a\rangle 是由 aa 生成的循环子群。 如果 GG 包含某些元素 aa 使得 G=⟨a⟩G = \langle a\rangle, 那么 GG 是一个循环群。此时, aa 是 GG 的一个生成元 generatorgenerator。

如果 aa 是群 GG 的一个元素， 我们定义其阶为满足 an=ea^n=e 的最小正整数， 写作 ∣a∣=n|a| = n。 如果不存在这样的一个正整数 nn, 那我们说 aa 的阶是无限的, 写作 ∣a∣=∞|a| = \infty。

每一个循环群都是阿贝尔群

定理​

  • 每个循环群的子群都是循环的

商群​

陪集​

设 HH 是群 GG 的一个子群，aa 为 GG 的任一元素。集合 aHaH 称为子群 HH 的一个左陪集，集合 HaHa 称为子群 HH 的一个右陪集；HH 的左陪集和右陪集的个数相等

定理​

  • 令 HH 是群 GG 的一个子群， 那么 HH 关于 GG 的左陪集构成了对 GG 的一个划分， 换言之, 群 GG 是 HH 关于 GG 的左陪集的不相交的并集

令 GG 是一个群且 HH 是 GG 的一个子群。 我们定义 HH 在 GG 中的指数 (index) 为 HH 关于 GG 的左陪集数量， 记作 [G:H][G : H]

  • 令 HH 是群 GG 的一个子群, 则 HH 关于 GG 的左陪集数量与 HH 关于 GG 的右陪集数量相同

拉格朗日定理​